Matrix

• Scale:

$$\begin{bmatrix} S_1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & S_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & S_3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x2\\ x3\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} S_1x_1\\ S_2x_2\\ S_3x_3 \\1 \end{pmatrix}$$

• Translate:

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & T_x\\ 0 & 1 & 0 & T_y\\ 0 & 0 & 1 & T_z\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+T_x\\ y+T_y\\ z+T_y\\ 1 \end{pmatrix}$$

Translate using w(Homogeneous Coordinates-齐次坐标)

• Rotate:

  • 两个向量的内积，在被同一个旋转矩阵M操作后不变，得旋转矩阵是正交矩阵
  $$a^T \centerdot b = (Ma)^T \centerdot (Mb) =a^TM^TMa \\ \Rightarrow M^TM = M^{-1}M=E$$
  • 二维向量旋转矩阵：

$$\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta\\ sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}$$

现在推导顺时针旋转$\theta$度的旋转矩阵，将$\vec{OP}$顺时针旋转$\theta$度，相当于将坐标系逆时针旋转$\theta$度：

$$X_b=OB+BC; \quad OB=X_acos\theta, \quad BC=AD=APsin\theta = Y_a sin\theta\\$$ $$\Rightarrow X_b = X_acos\theta + Y_asin\theta\\$$ $$Y_b = OF-GF; \quad OF=OE cos\theta=Y_a cos\theta, \quad GF=EH=EP sin\theta = X_a sin\theta\\$$ $$\Rightarrow Y_b = - X_a sin\theta + Y_a cos\theta\\$$ $$\Rightarrow \begin{pmatrix} X_b\\ Y_b \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta\\ -sin\theta & cos\theta \end{bmatrix} \begin{pmatrix} X_a\\ Y_a \end{pmatrix}$$

所以顺时针旋转$\theta$度的矩阵是：

$$\begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta\\ -sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}$$

逆时针是正角，上述推导为顺时针旋转矩阵

Transform Order: Scale->Rotate->Translate

---

Projection Matrix:

本节内容学习自：[OpenGL Projection Matrix][http://www.songho.ca/opengl/gl_projectionmatrix.html]

OpenGL Projection Matirx Task:

• Clip coordinates from view coordinates to clip coordinates;
• Normalize device coordinates

Perspective Projection

1. project 3D point to near plane.

发现view坐标系下$x_e,y_e$坐标投影到近平面后，$x_p$和$y_p$都由${-z_e}$做分母，故我们将投影空间的$w_p$设为$-z_e$，因为OpenGL输出每一个空间坐标的最后，都要除齐次坐标$w$.

$$\begin{pmatrix} X_{ndc}\\ Y_{ndc}\\ Z_{ndc} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{clip}/w_{clip}\\ y_{clip}/w_{clip}\\ z_{clip}/w_{clip}\\ \end{pmatrix}$$

NDC: normalized device coordinate 标准设备坐标

投影空间的$w_p$为$-z_e$，因此Perspective projection Matrix的第四行确定了：

$$\begin{pmatrix} X_c\\ Y_c\\ Z_c\\ W_c \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} \centerdot & \centerdot & \centerdot & \centerdot\\ \centerdot & \centerdot & \centerdot & \centerdot\\ \centerdot & \centerdot & \centerdot & \centerdot\\ 0 & 0 & -1 &0 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} X_e\\ Y_e\\ Z_e\\ W_e(=1) \end{pmatrix}$$

之后我们将$X_p,Y_p$从[l, r]映射到[-1, 1]，转换为NDC:

$$X_{ndc} = \frac{1- (-1)}{r-l} \centerdot X_p + \beta$$

将裁剪空间边界r,l带入$X_p$，会分别映射为1, -1:

$$1 = \frac{2r}{r-l} + \beta$$ $$\beta = 1-\frac{2r}{r-l}=-\frac{r+l}{r-l}$$ $$X_{ndc} = \frac{2X_p}{r-l} - \frac{r+l}{r-l}$$

同理，求得$Y_p$的映射：

$$Y_{ndc} = \frac{1- (-1)}{t-b} \centerdot Y_p + \gamma$$

带入上边界t，映射至NDC的1：

$$1=\frac{2t}{t-b} + \gamma \Rightarrow \gamma = -\frac{t+b}{t-b}$$ $$Y_{ndc} = \frac{2Y_p}{t-b} - \frac{t+b}{t-b}$$

之后将再做恒等式变换：

$$X_n =\frac{2X_p}{r-l} - \frac{r+l}{r-l} =\frac{2\frac{n \centerdot X_e}{-Z_e}}{r-l} - \frac{r+l}{r-l}$$ $$X_n = (\underbrace{\frac{2n}{r-l}X_e + \frac{r+l}{r-l}\centerdot Z_e}_{X_c})/-Z_e$$ $$Y_n =\frac{2Y_p}{t-b} - \frac{t+b}{t-b} =\frac{2\frac{n \centerdot Y_e}{-Z_e}}{t-b} - \frac{t+b}{t-b}$$ $$Y_n = (\underbrace{\frac{2n}{t-b}Y_e + \frac{r+l}{r-l}\centerdot Z_e}_{Y_c})/-Z_e$$

分别得到裁剪空间坐标$X_c,Y_c$，现在将Perspective projection Matrix补全：

$$\begin{pmatrix} X_c\\ Y_c\\ Z_c\\ W_c \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2n}{r-l} & 0 & \frac{r+l}{r-l} & 0\\ 0 & \frac{2n}{t-b} & \frac{t+b}{t-b} & 0\\ \centerdot & \centerdot & \centerdot & \centerdot\\ 0 & 0 & -1 &0 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} X_e\\ Y_e\\ Z_e\\ W_e(=1) \end{pmatrix}$$

现在我们计算裁剪空间的$Z_c$坐标，需要注意，裁剪空间的$X_c，Y_c$坐标是通过将观察空间的坐标投影到近平面上得到的，近平面的Z坐标恒为-n，所以我们需要不同的方法计算$Z_c$，并且$Z_c$和$Z_e$要是双射。首先$Z_c$肯定和X，Y坐标无关，与$Z_e,W_e$有关，观察空间的$W_e$为1，故$Z_c$只与$Z_e$相关，设：

$$\begin{pmatrix} X_c\\ Y_c\\ Z_c\\ W_c \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2n}{r-l} & 0 & \frac{r+l}{r-l} & 0\\ 0 & \frac{2n}{t-b} & \frac{t+b}{t-b} & 0\\ 0 & 0 & A & B\\ 0 & 0 & -1 &0 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} X_e\\ Y_e\\ Z_e\\ W_e(=1) \end{pmatrix}$$ $$Z_{ndc} = Z_c/W_c = \frac{AZ_e+BW_e}{-Z_e} =\frac{AZ_e+B}{-Z_e}$$

带入近平面远平面$Z_e$被映射为[-1,1]，带入得：

$$\frac{-An+B}{n}=-1\\ \frac{-Af+B}{n}=1$$ $$\Rightarrow A=-\frac{f+n}{f-n};\quad B=-\frac{2fn}{f-n}$$ $$Z_{ndc} = \frac{-\frac{f+n}{f-n}Z_e-\frac{2fn}{f-n}}{-Z_e}$$

注意，$Z_n$和$Z_e$是的关系不是线性的，是成反比的，越靠近近平面Z的精度越高，越远离近平面Z的精度越低，这样会导致深度测试冲突(Z-fighting)。

最后终于得到透视投影的投影矩阵：

$$\begin{bmatrix} \frac{2n}{r-l} & 0 & \frac{r+l}{r-l} & 0\\ 0 & \frac{2n}{t-b} & \frac{t+b}{t-b} & 0\\ 0 & 0 & -\frac{f+n}{f-n} & -\frac{2fn}{f-n}\\ 0 & 0 & -1 &0 \end{bmatrix}$$

Orthographic Projection:

正射投影不需要对观察空间坐标做过多变换，直接将坐标裁剪并映射到[-1,1]即可。

View Matrix

定义了摄像机空间的基坐标后，我们将世界坐标系转换为摄像机的坐标系，也就是观察空间坐标，先做平移变换，再做基变换，其中R,U,D,P分别是摄像机的右轴，上轴，方向向量，位置：

$$LookAt = \begin{bmatrix} R_x & R_y & R_z & 0\\ U_x & U_y & U_z & 0\\ D_x & D_y & D_z & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -P_x\\ 0 & 1 & 0 & -P_y\\ 0 & 0 & 1 & -P_z\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

注意，摄像机与世界位移方向相反，所以我们将世界坐标平移-Camera.position